[1]Matematica [Official Thread!]

[Enrichman]

Benvenuti alla Prima Riapertura del thread ufficiale sulla Matematica!

Per la parte precedente del thread: [0]




Ringraziamo Mandelbrot per questo disegno fantastico!

PS: non è un utente, ma l'autore di questo frattale! xD

[Mvesim]

Voglio risolvere alcuni dubbi sul determinante...

Notazioni
M(n x n, K) vuol dire l'insieme delle matrici quadrate con n righe costruita sul campo K
N è l'insieme dei numeri naturali
A^(1) è la prima colonna della matrice A.
A^(2) è la seconda colonna della matrice A.
A^(i) è la i-esima colonna della matrice A.
I è la matrice identità.

DETERMINANTE: Il determinante è una funzione det: M(n x n, K) ---> K.
Quindi il determinante si applica solamente alle matrici quadrate.

TEOREMA: Per ogni n appartenente ad N esiste un'unica funzione det: M(n x n, K) ---> K che ha le seguenti proprietà:
D1) Sia A appartenente a M(n x n, K).
Per ogni i che va da 1 a n:
det (A^(1), A^(2),..., A^(i+1), C+B, A^(i+1),..., A^(n)) = det (A^(1), A^(2),..., A^(i+1), C, A^(i+1),..., A^(n)) + det(A^(1), A^(2),..., A^(i+1), B, A^(i+1),..., A^(n))

Per ogni i che va da 1 a n, e t appartenente a K
det (A^(1), A^(2),..., t*A^(i),..., A^(n)) = t * det (A^(1), A^(2),..., A^(i),..., A^(n))

Cioè il determinante è multi-lineare.

D2) Se esistono i<j appartenenti a N tali che A^(i)=A^(j)
allora det(A^(1),...,A^(i),...,A^(j),...,A^(n))=0.

D3) det(I) = 1.

[swisstux]

riporto:

esiste la facolt&#224; di ingegneria matematica? pensavo ci fosse solo la facolt&#224; di scienze matematiche...

mi sembra di capire che quella di ing &#232; pi&#249; orientata alla pratica. &#232; cos&#236;?

[Mvesim]

Come calcolare il determinante di qualsiasi matrice...

Partiamo prima da un presupposto molto semplice.
Se abbiamo una matrice 2x2... cio&#232; del tipo

a b
c d

Il suo determinante sar&#224; banalmente a*d-b*c.

Consideriamo ora una matrice pi&#249; complessa...

1 2 1
2 3 4
5 6 7

E proviamo a calcolarne il determinante.
Ora dobbiamo usare uno strano schema.
Assegniamo ad ogni termine un segno a m&#242; di scacchiera (ricordandoci che in alto a sinistra va sempre il +)...
Facciamo cio&#232; cos&#236;:

+ - +
- + -
+ - +

Calcoliamo ora il determinante.
Prendiamo per esempio la prima riga.
Il primo valore sar&#224; positivo.

Quindi facciamo (+1)*det(A11)+(altre operazioni)

Ovviamente ora mi chiederete... cos'&#232; A11?!?
Beh... non &#232; complesso.
Se stiamo considerando la matrice poco sopra... A11 &#232; la matrice privata della prima riga e della prima colonna cio&#232; della riga e della colonna del valore che stiamo considerando.

1 2 1
2 3 4
5 6 7

Quella segnata qui in arancione che da notare &#232; una matrice 2*2 di cui sappiamo come calcolare il determinante.

Perfetto... ora proseguiamo (con anche gli altri calcoli).
Allora bisogna considerare tutta la riga (1 2 1) avremo cos&#236;...

(+1)*det(A11)+(-2)*det(A12)+(+1)*det(A13)

A12 sar&#224; ovviamente la matrice rossa qua riportata.

1 2 1
2 3 4
5 6 7

Discorso simile per A13...

In conclusione il calcolo sar&#224; cos&#236;...
(+1)*det(A11)+(-2)*det(A12)+(+1)*det(A13)
=(+1)*(3*7-4*6)+(-2)*(2*7-4*5)+(+1)*(2*6-3*5).

Ora vorrei fare notare un ultimo particolare... perch&#232; abbiamo fatto la scacchiera di + e - poco sopra.
Beh... perch&#232;, se ci conviene, si pu&#242; ripetere lo stesso ragionamento prendendo una riga o una colonna diversa.

Per esempio proviamo con una matrice diversa...

1 1 9
4 0 4
4 0 7

Sarebbe assurdo NON prendere la seconda colonna ch'&#232; cos&#236; semplice.
Quindi considero la seconda colonna e calcolo il determinante in maniera simile a come fatto poco fa (ricordandoci lo schema a scacchiera).

-1*det(A12)+(+0)*det(A22)+(-0)*det(A32)=
= -det(A12) = -(4*7-4*4).

[fab31_wrc]

C'&#232; anche Sarrus per le matrici 3x3.

[Mvesim]

C'è anche Sarrus per le matrici 3x3.

Tratta da Wikipedia...

a b c
d e f
g h i

det(A) = aei + bfg + cdh − [ceg + afh + bdi].

Molto interessante... non la sapevo.
Grazie per avermelo fatto notare.
Cmq lì la matrice 3x3 l'ho presa come esempio semplice per un discorso più generale (in quanto si può applicare anche a matrici con n più grandi).

[goku88]

io usavo sempre sarrus....era il pi&#249; facile...

[fab31_wrc]

Diciamo che Sarrus &#232; pi&#249; rischioso perch&#232; ti trovi a fare pi&#249; conti, per&#242; &#232; pi&#249; facile da applicare.

Per farlo in maniera pi&#249; facile scrivi le prime due colonne della matrice a destra della matrice stessa, e fai le moltiplicazioni delle diagonali principali con almeno 3 elementi - l
e moltiplicazioni delle diagonali secondarie con almeno tre elementi.

In pratica diventa:

(a b c)
(d e f)
(g h i)

applicando sarrus:

(a b c) a b
(d e f) d e
(g h i) g h

diventa quindi
det A= (a*e*i)+(b*f*g)+(c*d*h)-(c*e*g)-(a*f*h)-(b*d*i)

[Mvesim]

Diciamo che Sarrus &#232; pi&#249; rischioso perch&#232; ti trovi a fare pi&#249; conti, per&#242; &#232; pi&#249; facile da applicare.

Per farlo in maniera pi&#249; facile scrivi le prime due colonne della matrice a destra della matrice stessa, e fai le moltiplicazioni delle diagonali principali con almeno 3 elementi - l
e moltiplicazioni delle diagonali secondarie con almeno tre elementi.

In pratica diventa:

(a b c)
(d e f)
(g h i)

applicando sarrus:

(a b c) a b
(d e f) d e
(g h i) g h

diventa quindi
det A= (a*e*i)+(b*f*g)+(c*d*h)-(c*e*g)-(a*f*h)-(b*d*i)

Cmq, se noti bene, &#232; la stessa identica spiegazione che ho fatto io soltanto che la mia &#232; molto pi&#249; generale.
Infatti se raccogliamo...

(a*e*i)+(b*f*g)+(c*d*h)-(c*e*g)-(a*f*h)-(b*d*i) = a*(e*i-f*h)-b(d*i-f*g)+c(d*h-e*g) = a*det(A11)-b*det(A12)+c*det(A13).

Ch'era la formula da me sovradescritta.
Praticamente le due formule sono equivalenti.

[perin]

Che culo raga, luned&#236; ci sarebbe stato compito sulla probabilit&#224; e logaritmi e invece sono riuscito a farlo spostare

[Frat]

Che culo raga, lunedì ci sarebbe stato compito sulla probabilità e logaritmi e invece sono riuscito a farlo spostare

è solo un rinvio alla tua ultima ora, ricordatelo

[Sk8eR]

oggi compito u_u
8 limiti da risolvere (alcuni notevoli), 3 funzioni da studiare e 3 da trovare gli asintoti obliqui...

cose abbastanza semplici ma alcune erano cazzute.. e non lho finito perche cazzo quello davanti continuava a chiedere aiuto >.<


ps: per quanto riguarda ingegneria matematica: &#232; un po piu orientata alla pratica del corso di matematica applicata e poi il titolo di ingegnere ti da un tot di prestigio in piu (anche se odio sta storia del prestigio pero se il mondo &#232; cos&#236;..). e la fanno solo al polimi, quindi probably non potr&#242; andarci..

ps2: wow riapertura! presto supereremo dailyranders vs timidezza

[Micheal Taggart]

Che culo raga, lunedì ci sarebbe stato compito sulla probabilità e logaritmi e invece sono riuscito a farlo spostare

Non è che lo hai fatto spostare tu, ma la classe. Se non parlavi tu, parlavo io.

Comunque rox

è solo un rinvio alla tua ultima ora, ricordatelo

Compito sulle probabilità, che non sono difficilissime, e sui grafici di logaritmi ed esponenzili. E qui son cazzi.

[superpuccio]

oggi compito u_u
8 limiti da risolvere (alcuni notevoli), 3 funzioni da studiare e 3 da trovare gli asintoti obliqui...

cose abbastanza semplici ma alcune erano cazzute.. e non lho finito perche cazzo quello davanti continuava a chiedere aiuto >.<


ps: per quanto riguarda ingegneria matematica: è un po piu orientata alla pratica del corso di matematica applicata e poi il titolo di ingegnere ti da un tot di prestigio in piu (anche se odio sta storia del prestigio pero se il mondo è così..). e la fanno solo al polimi, quindi probably non potrò andarci..

ps2: wow riapertura! presto supereremo dailyranders vs timidezza

capisco, grazie per le delucidazioni

[mitchan88]

Non è che lo hai fatto spostare tu, ma la classe. Se non parlavi tu, parlavo io.

E' sempre troppo buono lo zio De Toffol